Compilações de Exercícios

 

Alguns Itens de Cálculo Diferencial I

(Colocarei as soluções assim que tiver oportunidade)

 

 

Mini Ficha de Trabalho - Programação Linear

 

 

Compilação n.º 1 - Produto Escalar e Geometria Analítica

(Compilação de todos os exercícios disponibilizados no site)

 

 

Ficha de Trabalho - Sucessões. Progressões Aritméticas e Geométricas

(muitos exercicios desta ficha não são originais meus)

 

 

Ficha de Trabalho - Método de Indução Matemática

(os exercicios desta ficha não são originais meus)

 
 

Comentários/Sugestões

Data: 11-12-2016

De: Ricardo Carvalho

Assunto: Geral

Boa tarde, professor
Muitos dos links que disponibilizou não abrem, quer de conteúdos de 11 quer de materiais de 12, anos muito importantes na matematica.
Será que podia tentar torná-los operaveis de novo?
Atentamente,
Um aluno admirador do seu trabalho.

Data: 13-12-2016

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:Geral

Olá Ricardo, boa tarde.

O DropBox bloqueou todos os link's que eu tinha no site. Vou ter de os refazer de novo. Ainda vai demorar.

Durante as férias tentarei deixar tudo operacional de novo.

Muito obrigado pelas tuas simpáticas palavras.

Cumprimentos.

José Carlos Pereira

Data: 25-01-2017

De: Pedro Peixoto

Assunto: Re:Geral

Olá professor, tinha por hábito imprimir estas compilações de exercicios para o meu filho mas agora não dá para abrir.
O que se passa?

Data: 12-02-2017

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:Re:Geral

Olá Pedro, bom dia.

Como escrevi em cima, o DropBox bloqueou os link's que eu aqui tinha. Ainda não tive tempo de os refazer. Ainda que tiver, irei refazê-los.

Cumprimentos.

José Carlos Pereira

Data: 07-11-2016

De: Paula Dias

Assunto: Resolução do exercício 25 da ficha de sucessões

Boa tarde professor,
Poderia explicar a sua resolução do exercício 25 da ficha de sucessões.
Obrigada.

Data: 12-11-2016

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:Resolução do exercício 25 da ficha de sucessões

Olá Paula, bom dia.

Se u(n) for a progressão aritmética e v(n) a geométrica então sabes que u(3), u(5) e u(17) são termos consecutivos de v(n)

Logo,r = u(17)/u(5) = u(5)/u(3) (1)

Por outro lado, como u(n) é p.a., tens:

u(5) = u(3) + 2*s

u(17) = u(3) + 14*s

sendo s a razão a p.a.

Substituis estes valores em (1) e chegarás a s = 2,5u(3). Agora é só fazer contas.

Cumprimentos

José Carlos Pereira

Data: 03-11-2016

De: Diana Sousa

Assunto: ficha de trabalho - sucessões

Boa noite, podia explicar como se resolve o exercício 11, alínea 11.1 ?
Obrigada

Data: 12-11-2016

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:ficha de trabalho - sucessões

Olá Diana, bom dia.

Começa por simplificar v(n) e em seguida calcula v(n+1)/v(n) que é a razão.

Cumprimentos.

José Carlos Pereira

Data: 27-05-2016

De: Ruben Bento

Assunto: Sucessões

Boa tarde professor podia resolver o exercicio oito da ficha de Sucessões?
Obrigado

Data: 30-05-2016

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:Sucessões

Olá Ruben, bom dia.

Olá Rúben, boa tarde.

8.1.) (wn) é decrescente se w(n + 1) - wn ≤ 0, para todo o n natura.

Tem-se que w(n + 1) - wn = -2n^2 + 26n -84 =

= -2(n^2 - 13n) - 84 = -2(n^2 - 13n + (13/2)^2 - (13/2)^2) - 84 =

= -2(n^2 - 13n + (13/2)^2) + 2*(13/2)^2 - 84

Ora, n^2 - 13n + (13/2)^2 = (n - 13/2)^2

Portanto,

-2(n^2 - 13n + (13/2)^2) + 2*(13/2)^2 - 84 =

= -2(n - 13/2)^2 - 167/4

Como (n - 13/2)^2 ≥ 0 para todo o n natural, vem:

(n - 13/2)^2 ≥ 0 <=> -2(n - 13/2)^2 ≤ 0 <=> -2(n - 13/2)^2 - 167/4 ≤ -167/4

Ou seja, se w(n + 1) - wn ≤ 0 para todo o n natural, pelo que (wn) é decrescente.

8.2.) Pretende-se determinar n tal que w(n + 1) - wn = 0. Assim, vem:


w(n + 1) - wn = 0 <=> -2n^2 + 26n -84 = 0

Aplicando a fórmula resolvente, obtém-se:

n = 6 v n = 7

Portanto:

se n = 6, então w7 - w6 = 0, pelo que w7 = w6.

se n = 7, então w8 - w7 = 0, pelo que w8 = w7.

Logo, w8 = w7 = w6, ou seja, os termos de ordem, 6, 7 e 8 são iguais.

8.3.) Tem-se que:

w(p + 1) - wp = -2p^2 + 26p - 84

w(p+ 2) - w(p + 1) = -2(p + 1)^2 + 26(p + 1) - 84 =

= -2(p^2 + 2p + 1) + 26p + 26 - 84

= -2p^2 - 4p - 2 + 26p - 58

= -2p^2 + 22p - 60

Assim:

w(p + 1) - wp = 2(w(p+ 2) - w(p + 1)) <=>

<=> -2p^2 + 26p - 84 = 2(-2p^2 + 22p - 60)

<=> -2p^2 + 26p - 84 = -4p^2 + 44p - 120

<=> 2p^2 - 18p + 36 = 0

Aplicando a fórmula resolvente, vem:

p = 3 v p = 6.

Cumprimentos.

José Carlos Pereira

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