Propostas de Testes Intermédios de Matemática A do 12.º Ano

 

Compilação de Exercícios do Tema Combinatória e Proba bilidades das Provas Modelo n.º 1, n.º 2 e n.º 3

  

 

Proposta de Teste Intermédio n.º 4

 

Enunciado                    Proposta de Resolução

  

 

Proposta de Teste Intermédio n.º 3

 

Enunciado                    Proposta de Resolução

  

 

Proposta de Teste Intermédio n.º 2

 

Enunciado                    Proposta de Resolução 

 

 

Proposta de Teste Intermédio n.º 1

 

Enunciado                    Proposta de Resolução

 

Comentários/Sugestões

Data: 01-06-2017

De: Henrique Ribeiro

Assunto: Proposta de Teste Intermédio 3 - Grupo II ex:1.2

Boa noite professor!

Neste exercício não compreendi como se chega ao resultado final de 41/42

Fiz do seguinte modo:

1 - (2x5!x5!)/(10!) =125/126 Não entendi onde falhei.
Desde já obrigado por todo o material disponível

Data: 02-06-2017

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:Proposta de Teste Intermédio 3 - Grupo II ex:1.2

Olá Henrique, boa tarde.

Pela rua resposta, o que calculaste foi a probabilidade de os primos ficarem juntos nas cinco primeiras posições ou nas cinco últimas (por exemplo).

Queremos a probabilidade de pelo menos dois dos primos ficarem juntos. (por exemplo, dois juntos e os outros três separados, três juntos e os outros dois separados, etc...)

A melhor maneira é ir pelo acontecimento contrários:

P(pelo menos dois primos juntos) = 1 - P(nenhum primo ficar juntos)

("nenhum primo ficar junto" quer dizer não haver primos em posições consecutivas).

Ora, o n.c.p. é 10!

Agora temos de pensar, se os primos não podem ficar juntos, têm de ficar entre os restantes cinco ou nas pontas, isto é, podem ocupar seis posições, as quatro entre os restantes cinco amigos ou as duas nas pontos. Dessas seis escolhem-se cinco para os primos, o n,º de maneiras de o fazer é 6C5. Depois de escolhidas estas posições temos de distribuir os primos por essas posições escolhidas e os restantes cinco amigos pelas restantes cinco posições: o n.º de maneiras de o fazer é 5!*5!. Logo, o n.c.f. é 6C5*5!*5!

A probabilidade pedida é:

1 - 6C5*5!*5!/10! = 41/42

Poderias escolher apenas as posições para os primos, nesse caso, n.c.p. seria 10C5 e o n.c.f. seria 6C5 pelo que a probabilidade seria dada por 1 - 6C5/10C5.

Cumprimentos.

José Carlos Pereira

Data: 16-02-2016

De: Marisa Henriques

Assunto: Exercício 3 escolha múltipla, proposta n. 3

Boa tarde,

como resolvo o exercício 3 de escolha múltipla? não consigo perceber como chega a 1/7.

muito obrigada.

Data: 08-03-2016

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:Exercício 3 escolha múltipla, proposta n. 3

Olá Marisa, boa tarde.

Desculpa a demora a responder, mas só agora vi o teu comentário.

Qual um casal tem três filhos pode ocorrer uma destas oito situações:

FFF; FFM; FMF; MFF; FMM; MFM; MMF; MMM

onde, F -> filho do sexo feminino e M -> filho do sexo masculino. Por exemplo FMF significa que o primeiro filho foi do sexo feminino, o segundo fo masculino e o terceiro do feminino.

No entanto sabemos que um dos filhos do casal é do sexo feminino. Logo não pode ter ocorrido o caso MMM. Assim, o número de casos possíveis é 7. Como se pretende a probabilidade de serem todos do mesmo sexo, então só podem ser todos do sexo feminino. Portanto, o número de casos favoráveis é 1 (FFF). Logo, a probabilidade pedida é 1/7.

De referir que os acontecimentos elementares têm todos as mesma probabilidade, 1/8, já que em cada nascimento a probabilidade de nascer rapaz ou rapariga é igual e igual a 1/2. Portanto, a regra de Laplace pode ser aplicada.

Cumprimentos.

José Carlos Pereira

Data: 16-02-2016

De: Júlio

Assunto: Proposta de T.I. numero 1

Olá, boa tarde.
Não percebi os casos favoráveis do exercício 2 de escolha múltipla.
Se são 2 faces perpendiculares ao eixo Oy, [ABCDE] e a face [FGHIJ], os casos favoráveis não seriam 5C2 x 2? E os casos possíveis, 10C2, dando 4/9?
Obrigado. Cumprimentos.

Data: 08-03-2016

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:Proposta de T.I. numero 1

Olá Júlio, boa tarde.

Desculpa só estar a responder agora, mas só agora vi o comentário.

No enunciado pede a probabilidade de os dois pontos escolhidos serem extremos de uma aresta perpendicular a Oy. Se fizerem 5C2*2 está a contar segmentos de recta que apesar de serem perpendiculares a Oy não são arestas do poliedro. Por exemplo, está a contar o segmento de recta [BD] como uma aresta perpendicular a Oy quando [BD] não é uma aresta do poliedro.

O número de casos favoráveis é mesmo 10, as dez aresta do poliedro que são perpendiculares a Oy.

Cumpriementos.

José Carlos Pereira

Data: 01-12-2015

De: Ana Martins

Assunto: Testes Intermedios

Bom dia Professor os testes Intermédios disponibilizados no 12º não são os do ano lectivo 2015/2016.

Data: 03-12-2015

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:Testes Intermedios

Olá Ana, boa noite.

Não entendi o teu comentário. Os testes disponíveis são originais meus que disponibilizei há em 2013 e 2014.

Já há dois anos lectivos que não há testes intermédios fornecidos pelo Ministério.

Os testes que estão aqui disponibilizados estão perfeitamente actuais, os conteúdos tratados este ano são os mesmos dos últimos anos.

Cumprimentos.

José Carlos Pereira

Data: 07-11-2015

De: Filipe

Assunto: Possível erro na resolução

Olá professor. No teste intermédio nº2, no exercício 1.1 penso que a resolução apresentada possa ter um possível erro.
Em primeiro, na contagem das diagonais espaciais tem-se:

-união dos vértices da base inferior do prisma ao vértice (7)
-união dos vértices da base inferior do prisma à base superior do mesmo (4x7=28)
-número de diagonais do heptágono da base superior do prisma (7C2 - 7=14)
total=49

nº de casos possíveis = 15C2=105

P(pedida)= 49/105=7/15

Esta seria a minha resolução. Não sei o que o professor pensa, mas por favor corrija-me caso esteja errado. Boa noite :)

Data: 10-11-2015

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:Possível erro na resolução

Olá Filipe, bom dia.

Não são 15 vértices, são 14 vértices. O ponto P não é um vértice. Se reparares, o sólido é designado por [ABCDEFGHIJLMNQ] e logo no primeiro ponto está dito que a face [AGQH] está contida no plano xOy. Ou seja, se [AGQH] é uma face, P não é um vértice. O que se conclui é que [QG] é uma aresta do sólido.

A resolução do item está correcta.

Cumprimentos.

José Carlos Pereira

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