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Data: 14-03-2014

De: Rita

Assunto: Dúvidas

Bom dia, Professor José.
Em primeiro lugar, queria agradecer-lhe por ter respondido sempre às minhas perguntas e dúvidas. Em segundo lugar, queria dizer-lhe que o livro Preparar o exame está a ser-me muito útil, porque faço exercícios muito diferentes e mais difíceis do que faço na escola, o que levou a minha nota a melhorar bastante. Em terceiro lugar, gostaria se possível que o Professor me esclarecesse algumas dúvidas que ainda não consegui tirar.
Na pág. 122 do livro, exercício 16.1, 2^((x^2)-7)=4, o professor na resolução escreveu
(x^2)-7=2, a minha dúvida é a seguinte: nós utilizamos esta propriedade porque a função exponencial é injetiva, mas nesta situação 2^((x^2)-7), não é uma função injetiva e fazemos o mesmo, porque é que funciona, não consegui perceber.
A minha outra dúvida, tem a ver com os intervalos de monotonia e extremos:
Quando estamos a dar resposta sobre a monotonia de uma função, eu ainda não percebi muito bem a diferença de por intervalos abertos ou fechados.
Por exemplo, no exercício 104.3, da pág 213 do livro, pedem para eu mostrar, que f é decrescente em ]-1,0[, mas se me pedissem para estudar a monotonia sem dizerem mais nada, eu também poderia dizer que f é decrescente no intervalo ]-1,0]. O -1 tem de estar aberto, porque não pertence ao domínio da função, mas podia fechar no zero, não podia? Se eu dissesse estritamente decrescente aí já teria de escrever ]-1,0[, não era? Pelo aquilo que percebi, penso que no caso de ser decrescente posso fechar por causa da definição de função decrescente, que engloba o caso da igualdade, e no caso da estritamente decrescente tenho de abrir, porque já não engloba o cada da igualdade. Estou a pensar bem?
Professor, a minha última dúvida, tem a ver com os extremos, no caso em que não existe derivada nesse ponto. Neste mesmo exercício 104.3, existe uma situação destas, a função f não é contínua em x=0, então a função não é derivável em x=0 (na resolução, na tabela de sinal, o Professor tem que f’(0)=0 , não deveria estar não definida?), então nestas situações tenho de estudar sempre as derivadas laterais e ver se existe uma troca de sinal. Nesta situação como não aconteceu a troca de sinais eu concluo que f(0), não é extremo.
O que me deixou baralhada foi: na tabela no intervalo ]-1,0[ a derivada é negativa e no intervalo ]0,2/3[ positiva, logo f em ]-1,0[ decresce e em ]0,2/3[ cresce, o que me levou a concluir erradamente que f(0) era um mínimo. Nós não podemos concluir desta forma, porque ela é descontínua não é? Por isso é que temos de fazer o estudo das derivadas laterais, aliás professor eu até pensava que a derivada lateral à esquerda de 0 era negativa, porque na tabela no intervalo ]-1,0[ a derivada é negativa e esta derivada lateral é positiva, isto deve-se mais uma vez ao facto da função ser descontínua, não é? No caso das funções contínuas, quando por exemplo, eu sei que a derivada em ]a,b[ é negativa, eu posso concluir que a derivada lateral à esquerda de b é negativa, não posso?
Professor, peço desculpa por este testamento e pelo incómodo.
Fico à espera de notícias suas, muito obrigado pela atenção Rita.

Data: 18-03-2014

De: José Carlos Pereira

Assunto: Re:Dúvidas

Olá Rita, penso que a tua dúvida da questão 104.3. já está esclarecida.

Quando ao exercício 16.1. da página 122, o que se usa é a propriedade que referiste. É verdade que a função que y = 2^(x^2 - 4) não é injectiva, mas aqui o que interessa é que a função y = 2^x é injectiva e portanto duas função exponenciais de base 2 são iguais se e só se "tiverem o mesmo expoente".

José Carlos Pereira

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